Linjär algebra
Föregående | Kapitel 11. Lista över GEL-funktioner | Nästa

## Linjär algebra

AuxiliaryUnitMatrix

      AuxiliaryUnitMatrix (n)

  Hämta hjälpenhetsmatrisen av storlek `n`. Detta är en kvadratisk matris med bara nollor, förutom element i överdiagonalen (i,i+1) som har värdet 1. Det är Jordanblockmatrisen med ett egenvärde som är noll.

  Se Planetmath eller Mathworld för mer information om Jordans normalform.

BilinearForm

      BilinearForm (v,A,w)

  Beräkna (v,w) med avseende på den bilinjära formen given av matrisen A.

BilinearFormFunction

      BilinearFormFunction (A)

  Returnera en funktion som beräknar två vektorer med avseende på den bilinjära formen given av A.

CharacteristicPolynomial

      CharacteristicPolynomial (M)

  Alias: `CharPoly`

  Hämta det karakteristiska polynomet som en vektor. Det vill säga returnera koefficienterna för polynomet med den konstanta termen först. Detta är polynomet som definieras av `det(M-xI)`. Rötterna för detta polynom är egenvärdena för `M`. Se även CharacteristicPolynomialFunction.

  Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

CharacteristicPolynomialFunction

      CharacteristicPolynomialFunction (M)

  Hämta det karakteristiska polynomet som en funktion. Detta är polynomet som definieras av `det(M-xI)`. Rötterna för detta polynom är egenvärdena för `M`. Se även CharacteristicPolynomial.

  Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

ColumnSpace

      ColumnSpace (M)

  Hämta en basmatris för kolumnrummet för en matris. Det vill säga returnera en matris vars kolumner är basen för kolumnrummet av `M`. Det vill säga rummet som spänns upp av kolumnerna i `M`.

  Se Wikipedia för mer information.

CommutationMatrix

      CommutationMatrix (m, n)

  Returnera kommutationsmatrisen `K(m,n)` som är den unika `m*n`×`m*n`-matrisen så att `K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.')` för alla `m`×`n`-matriser `A`.

CompanionMatrix

      CompanionMatrix (p)

  Följeslagarmatris av ett polynom (som en vektor).

ConjugateTranspose

      ConjugateTranspose (M)

  Konjugattransponatet av en matris (adjungerad matris). Detta är det samma som `.'`-operatorn.

  Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

Convolution

      Convolution (a,b)

  Alias: `convol`

  Beräkna faltningen av två horisontella vektorer.

ConvolutionVector

      ConvolutionVector (a,b)

  Beräkna faltning av två horisontella vektorer. Returnera resultatet som en vektor och inte adderade.

CrossProduct

      CrossProduct (v,w)

  CrossProduct (kryssprodukt) av två vektorer i R3 som en kolumnvektor.

  Se Wikipedia för mer information.

DeterminantalDivisorsInteger

      DeterminantalDivisorsInteger (M)

  Hämta determinantdelarna av en heltalsmatris.

DirectSum

      DirectSum (M,N...)

  Direkt summa av matriser.

  Se Wikipedia för mer information.

DirectSumMatrixVector

      DirectSumMatrixVector (v)

  Direkt summa av en vektor av matriser.

  Se Wikipedia för mer information.

Eigenvalues

      Eigenvalues (M)

  Alias: `eig`

  Hämta egenvärdena för en kvadratisk matris. Fungerar för närvarande endast för upp till matriser av storlek upp till 4×4-matriser eller triangulära matriser (för vilka egenvärdena är på diagonalen).

  Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.

Eigenvectors

      Eigenvectors (M)

      Eigenvectors (M, &eigenvalues)

      Eigenvectors (M, &eigenvalues, &multipliciteter)

  Hämta egenvektorerna för en kvadratisk matris. Hämta valfritt även egenvärdena och deras algebraiska multipliciteter. Fungerar för närvarande endast för matriser med storlek upp till 2×2.

  Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.

GramSchmidt

      GramSchmidt (v,B...)

  Tillämpa Gram-Schmidt-processen (till kolumnerna) med avseende på inre produkten given av `B`. Om `B` inte angiven används den hermiteska produkten. `B` kan antingen vara en seskvilinjär funktion av två argument eller så kan det vara en som ger en seskvilinjär form. Vektorerna kommer att göras ortonormala med avseende på `B`.

  Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

HankelMatrix

      HankelMatrix (k,r)

  Hankelmatris, en matris vars antidiagonaler är konstanta. `k` är den första raden och `r` är den sista kolumnen. Det antas att båda argumenten är vektorer och att det sista elementet i `c` är detsamma som det första elementet i `r`.

  Se Wikipedia för mer information.

HilbertMatrix

      HilbertMatrix (n)

  Hilbertmatris av ordning `n`.

  Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

Image

      Image (T)

  Hämta bilden (kolumnrummet) av en linjär avbildning.

  Se Wikipedia för mer information.

InfNorm

      InfNorm (v)

  Hämta supremumnormen av en vektor, även kallad maximinormen eller oändlighetsnormen.

InvariantFactorsInteger

      InvariantFactorsInteger (M)

  Hämta de invarianta faktorerna för en kvadratisk heltalsmatris.

InverseHilbertMatrix

      InverseHilbertMatrix (n)

  Invers Hilbertmatris av ordning `n`.

  Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

IsHermitian

      IsHermitian (M)

  Är en matris hermitesk. Det vill säga lika med sitt konjugattransponat.

  Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

IsInSubspace

      IsInSubspace (v,W)

  Testa om en vektor är i ett underrum.

IsInvertible

      IsInvertible (n)

  Är en matris (eller tal) inverterbar (En heltalsmatris är inverterbar om och endast om den är inverterbar över heltalen).

IsInvertibleField

      IsInvertibleField (n)

  Är en matris (eller ett tal) inverterbar över en kropp.

IsNormal

      IsNormal (M)

  Är `M` en normal matris. Det vill säga är `M*M' == M'*M`.

  Se Planetmath eller Mathworld för mer information.

IsPositiveDefinite

      IsPositiveDefinite (M)

  Är `M` en hermitesk positivt definit matris. Det vill säga om `HermitianProduct(M*v,v)` alltid är strikt positiv för varje vektor `v`. `M` måste vara kvadratisk och hermitesk för att vara positivt definit. Kontrollen som utförs är att varje principal-undermatris har en icke-negativ determinant. (Se HermitianProduct)

  Observera att vissa författare (till exempel Mathworld) inte kräver att `M` är hermitesk, och då är villkoret på realdelen av den inre produkten, men vi delar inte denna åskådning. Om du vill utföra denna kontroll, se bara på den hermiteska delen av matrisen `M` enligt följande: `IsPositiveSemidefinite(M+M')`.

  Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.

IsPositiveSemidefinite

      IsPositiveSemidefinite (M)

  Är `M` en hermitesk positivt semidefinit matris. Det vill säga om `HermitianProduct(M*v,v)` alltid är icke-negativ för varje vektor `v`. `M` måste vara kvadratisk och hermitesk för att vara positivt semidefinit. Kontrollen som utförs är att varje principal-undermatris har en icke-negativ determinant. (Se HermitianProduct)

  Observera att vissa författare inte kräver att `M` är hermitesk, och då är villkoret på realdelen av den inre produkten, men vi delar inte denna åskådning. Om du vill utföra denna kontroll, se bara på den hermiteska delen av matrisen `M` enligt följande: `IsPositiveSemidefinite(M+M')`.

  Se Planetmath eller Mathworld för mer information.

IsSkewHermitian

      IsSkewHermitian (M)

  Är en matris skevhermitesk. Det vill säga är konjugattransponatet lika med den negativa matrisen.

  Se Planetmath för mer information.

IsUnitary

      IsUnitary (M)

  Är en matris unitär? Det vill säga, är `M'*M` och `M*M'` lika med identiteten.

  Se Planetmath eller Mathworld för mer information.

JordanBlock

      JordanBlock (n,lambda)

  Alias: `J`

  Hämta Jordanblocket som motsvarar egenvärdet `lambda` med multiplicitet `n`.

  Se Planetmath eller Mathworld för mer information.

Kernel

      Kernel (T)

  Hämta kärnan (nollrummet) av en linjär avbildning.

  (Se NullSpace)

KroneckerProduct

      KroneckerProduct (M, N)

  Alias: `TensorProduct`

  Beräkna Kroneckerprodukten (tensorprodukt i standardbas) av två matriser.

  Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.

  Version 1.0.18 och framåt.

LUDecomposition

      LUDecomposition (A, L, U)

  Hämta LU-faktoriseringen av `A`, det vill säga hitta en nedåt triangulär matris och uppåt triangulär matris vilkas produkt är `A`. Lagra resultatet i `L` och `U` som ska vara referenser. Det returnerar `true` om det lyckas. Anta till exempel att A är en kvadratisk matris, då kommer du efter att köra:

      genius> LUDecomposition(A,&L,&U)

  ha den nedre matrisen lagrad i en variabel som kallas `L` och den övre matrisen i en variabel som kallas `U`.

  Detta är LU-faktoriseringen av en matris, även känd som Crout- och/eller Cholesky-faktorisering. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) Den uppåt triangulära matrisen har värdet 1 (ett) på diagonalen. Detta är inte Doolittles metod som har ettorna diagonalt på nedermatrisen.

  Alla matriser har inte LU-faktoriseringar, till exempel har `[0,1;1,0]` inte det och denna funktion returnerar `false` i det fallet och ställer in `L` och `U` till `null`.

  Se Wikipedia, Planetmath eller Mathworld för mer information.

Minor

      Minor (M,i,j)

  Hämta `i`-`j`-underdeterminanten (minoren) av en matris.

  Se Planetmath för mer information.

NonPivotColumns

      NonPivotColumns (M)

  Returnera kolumnerna som inte är pivotkolumnerna av en matris.

Norm

      Norm (v,p...)

  Alias: `norm`

  Hämta p-normen (eller 2-normen om inget p är angivet) för en vektor.

NullSpace

      NullSpace (T)

  Hämta nollrummet för en matris. Det vill säga kärnan för den linjära avbildningen som matrisen representerar. Detta returneras som en matris vars kolumnrum är nollrummet av `T`.

  Se Planetmath för mer information.

Nullity

      Nullity (M)

  Alias: `nullity`

  Hämta nulliteten av en matris. Det vill säga returnera nollrummets dimension; dimensionen på kärnan av `M`.

  Se Planetmath för mer information.

OrthogonalComplement

      OrthogonalComplement (M)

  Hämta det ortogonala komplementet till kolumnrummet.

PivotColumns

      PivotColumns (M)

  Returnera pivotkolumner för en matris, det vill säga kolumner som börjar med 1 i radreducerad trappstegsform, returnerar också raden där de förekommer.

Projection

      Projection (v,W,B...)

  Projicering av vektor `v` till underrum `W` med avseende på inre produkt given av `B`. Om `B` ej angiven används den vanliga hermiteska produkten. `B` kan antingen vara en seskvilinjär funktion av två argument eller så kan det vara en matris som ger en seskvilinjär form.

QRDecomposition

      QRDecomposition (A, Q)

  Hämta QR-faktoriseringen av en kvadratisk matris `A`, returnerar den uppåt triangulära matrisen `R` och ställer in `Q` till den ortogonala (unitära) matrisen. `Q` bör vara en referens eller `null` om de inte vill att något ska returneras. Till exempel:

      genius> R = QRDecomposition(A,&Q)

  Du kommer att ha den uppåt triangulära matrisen lagrad i en variabel kallad `R` och den ortogonala (unitära) matrisen lagrad i `Q`.

  Se Wikipedia eller Planetmath eller Mathworld för mer information.

RayleighQuotient

      RayleighQuotient (A,x)

  Returnera Rayleighkvoten (även kallad Rayleigh-Ritz-kvoten eller förhållandet) av en matris och en vektor.

  Se Planetmath för mer information.

RayleighQuotientIteration

      RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vekref)

  Hitta egenvärdena av `A` med Rayleighkvot-iterationsmetoden. `x` är en gissning av en egenvektor och kan vara slumpmässig. Den ska ha nollskild imaginärdel om den ska ha någon chans att hitta komplexa egenvärden. Koden kommer köras som mest `maxiter` iterationer och returnera `null` om vi inte kan få ett mindre fel än `epsilon`. `vekref` ska antingen vara `null` eller en referens till en variabel där egenvektorn ska lagras.

  Se Planetmath för mer information om Rayleighkvot.

Rank

      Rank (M)

  Alias: `rank`

  Hämta rangen av en matris.

  Se Planetmath för mer information.

RosserMatrix

      RosserMatrix ()

  Returnerar Rossermatrisen som är ett klassiskt testproblem för symmetriska egenvärden.

Rotation2D

      Rotation2D (vinkel)

  Alias: `RotationMatrix`

  Returnera matrisen som motsvarar rotation runt origo i R2.

Rotation3DX

      Rotation3DX (vinkel)

  Returnera matrisen som motsvarar rotation runt origo i R3 kring x-axeln.

Rotation3DY

      Rotation3DY (vinkel)

  Returnera matrisen som motsvarar rotation runt origo i R3 kring y-axeln.

Rotation3DZ

      Rotation3DZ (vinkel)

  Returnera matrisen som motsvarar rotation runt origo i R3 kring z-axeln.

RowSpace

      RowSpace (M)

  Hämta en basmatris för radrummet av en matris.

SesquilinearForm

      SesquilinearForm (v,A,w)

  Beräkna (v,w) med avseende på den seskvilinjära formen given av matrisen A.

SesquilinearFormFunction

      SesquilinearFormFunction (A)

  Returnera en funktion som beräknar två vektorer med avseende på den seskvilinjära formen given av A.

SmithNormalFormField

      SmithNormalFormField (A)

  Returnerar Smiths normalform för en matris över kroppar (kommer i slutet ha 1:or på diagonalen).

  Se Wikipedia för mer information.

SmithNormalFormInteger

      SmithNormalFormInteger (M)

  Returnerar Smiths normalform för kvadratiska heltalsmatriser över heltal.

  Se Wikipedia för mer information.

SolveLinearSystem

      SolveLinearSystem (M,V,arg...)

  Lös det linjära systemet Mx=V, returnera lösningen V om det finns en unik lösning, returnera `null` annars. Två extra referensparametrar kan valfritt användas för att få tag i de reducerade M och V.

ToeplitzMatrix

      ToeplitzMatrix (k, r...)

  Returnera Toeplitzmatrisen skapad med den första kolumnen k och (valfritt) den första raden r. Om endast kolumnen k anges så konjugeras den och den icke-konjugerade versionen används som den första raden för att ge en hermitesk matris (givetvis om det första elementet är reellt).

  Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

Trace

      Trace (M)

  Alias: `trace`

  Beräkna spåret av en matris. Det vill säga summan av de diagonala elementen.

  Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

Transpose

      Transpose (M)

  Transponatet av en matris. Detta är det samma som `.'`-operatorn.

  Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

VandermondeMatrix

      VandermondeMatrix (v)

  Alias: `vander`

  Returnera Vandermondematrisen.

  Se Wikipedia för mer information.

VectorAngle

      VectorAngle (v,w,B...)

  Vinkeln av två vektorer med avseende på en inre produkt given av `B`. Om `B` inte är angiven används den vanliga hermiteska produkten. `B` kan antingen vara en seskvilinjär funktion av två argument eller så kan det vara en matris som ger en seskvilinjär form.

VectorSpaceDirectSum

      VectorSpaceDirectSum (M,N)

  Den direkta summan av vektorrummen M och N.

VectorSubspaceIntersection

      VectorSubspaceIntersection (M,N)

  Snitt av underrummen angivna av M och N.

VectorSubspaceSum

      VectorSubspaceSum (M,N)

  Summan av vektorrummen M och N, det vill säga {w | w=m+n, m i M, n i N}.

adj

      adj (m)

  Alias: `Adjugate`

  Hämta den klassiska adjunkten (transponatet av kofaktormatrisen) av en matris.

cref

      cref (M)

  Alias: `CREF` `ColumnReducedEchelonForm`

  Beräkna den kolumnreducerade trappstegsformen.

det

      det (M)

  Alias: `Determinant`

  Hämta determinanten av en matris.

  Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

ref

      ref (M)

  Alias: `REF` `RowEchelonForm`

  Hämta trappstegsformen av en matris. Det vill säga tillämpa gausselimination men inte bakåtaddition till `M`. Pivotraderna divideras så att alla pivoter blir 1.

  Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

rref

      rref (M)

  Alias: `RREF` `ReducedRowEchelonForm`

  Hämta den radreducerade trappstegsformen av en matris. Det vill säga tillämpa gausselimination tillsammans med bakåtaddition till `M`.

  Se Wikipedia eller Planetmath för mer information.

Föregående | Upp | Nästa
Matrismanipulation | Hem | Kombinatorik