Γραμμική Άλγεβρα
Προηγ | Κεφάλαιο 11. Κατάλογος συναρτήσεων της GEL | Επόμενο

## Γραμμική Άλγεβρα

AuxiliaryUnitMatrix

      AuxiliaryUnitMatrix (n)

  Δίνει τον βοηθητικό μοναδιαίο πίνακα μεγέθους `n`. Αυτός είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με όλα μηδέν εκτός από την υπερδιαγώνιο που είναι όλα 1. Είναι ο σύνθετος πίνακας Jordan με ιδιοτιμή ενός μηδενικού.

  See Planetmath or Mathworld for more information on Jordan Canonical Form.

BilinearForm

      BilinearForm (v,A,w)

  Υπολογίζει (v,w) ως προς τη διγραμμική μορφή που δίνεται από τον πίνακα Α.

BilinearFormFunction

      BilinearFormFunction (A)

  Επιστρέφει μια συνάρτηση που υπολογίζει δύο διανύσματα ως προς τη διγραμμική μορφή που δίνεται από το Α.

CharacteristicPolynomial

      CharacteristicPolynomial (M)

  Παραλλαγές: `CharPoly`

  Δίνει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ως διάνυσμα. Δηλαδή, επιστρέφει τους συντελεστές του πολυωνύμου ξεκινώντας με τον σταθερό όρο. Αυτό είναι το πολυώνυμο που ορίστηκε από `det(M-xI)`. Οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου είναι οι ιδιοτιμές του `M`. Δείτε επίσης CharacteristicPolynomialFunction.

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

CharacteristicPolynomialFunction

      CharacteristicPolynomialFunction (M)

  Δίνει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ως συνάρτηση. Αυτό είναι το πολυώνυμο που ορίστηκε από το `det(M-xI)`. Οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου είναι οι ιδιοτιμές του `M`. Δείτε επίσης CharacteristicPolynomial.

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

ColumnSpace

      ColumnSpace (M)

  Δίνει έναν πίνακα βάσης για τον χώρο στηλών ενός πίνακα. Δηλαδή, επιστρέφει έναν πίνακα του οποίου οι στήλες είναι η βάση για τον χώρο στηλών του `M`. Αυτός είναι ο χώρος που καλύπτεται από τις στήλες του `M`.

  See Wikipedia for more information.

CommutationMatrix

      CommutationMatrix (m, n)

  Επιστρέφει τον αντιμεταθετικό πίνακα `K(m,n)` που είναι ο μοναδικός πίνακας `m*n` επί `m*n` τέτοιος ώστε `K(m,n) * MakeVector(A) = MakeVector(A.')` για όλους τους πίνακες `Α` `m` επί `n`.

CompanionMatrix

      CompanionMatrix (p)

  Συνοδός πίνακας ενός πολυωνύμου (ως διανύσματος).

ConjugateTranspose

      ConjugateTranspose (M)

  Συζυγής ανάστροφος πίνακας (συζυγής). Αυτός είναι ο ίδιος με τον τελεστή `'`.

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

Convolution

      Convolution (a,b)

  Παραλλαγές: `convol`

  Υπολογίζει τη συνέλιξη των δύο οριζόντιων διανυσμάτων.

ConvolutionVector

      ConvolutionVector (a,b)

  Υπολογίζει τη συνέλιξη των δύο οριζόντιων διανυσμάτων. Επιστρέφει αποτέλεσμα ως διάνυσμα του οποίου τα στοιχεία δεν προστίθεται μαζί.

CrossProduct

      CrossProduct (v,w)

  Διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων στο R3 ως διάνυσμα στήλης.

  See Wikipedia for more information.

DeterminantalDivisorsInteger

      DeterminantalDivisorsInteger (M)

  Get the determinantal divisors of an integer matrix.

DirectSum

      DirectSum (M,N...)

  Ευθύ άθροισμα των πινάκων.

  See Wikipedia for more information.

DirectSumMatrixVector

      DirectSumMatrixVector (v)

  Ευθύ άθροισμα ενός διανύσματος πινάκων.

  See Wikipedia for more information.

Eigenvalues

      Eigenvalues (M)

  Παραλλαγές: `eig`

  Δίνει τις ιδιοτιμές ενός τετραγωνικού πίνακα. Προς το παρόν δουλεύει μόνο για πίνακες μεγέθους μέχρι 4 επί 4, ή για τριγωνικούς πίνακες (για τους οποίους οι ιδιοτιμές είναι στη διαγώνιο).

  See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.

Eigenvectors

      Eigenvectors (M)

      Eigenvectors (M, &eigenvalues)

      Eigenvectors (M, &eigenvalues, &multiplicities)

  Δίνει τα ιδιοδιανύσματα ενός τετραγωνικού πίνακα. Προαιρετικά παίρνετε επίσης τις ιδιοτιμές και τις αλγεβρικές πολλαπλότητες. Προς το παρόν δουλεύει μόνο για πίνακες μεγέθους μέχρι 2 επί 2.

  See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.

GramSchmidt

      GramSchmidt (v,B...)

  Εφαρμόζει τη διεργασία Gram-Schmidt (στις στήλες) ως προς το εσωτερικό γινόμενο που δίνεται από το `B`. Αν το `B` δεν δίνεται, τότε χρησιμοποιείται το τυπικό ερμιτιανό γινόμενο. Το `B` μπορεί να είναι ή γραμμικο-ημιγραμμική συνάρτηση δύο ορισμάτων ή μπορεί να είναι ένας πίνακας που δίνει μια γραμμικο-ημιγραμμική μορφή. Τα διανύσματα θα γίνονται ορθοκανονικά ως προς το `B`.

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

HankelMatrix

      HankelMatrix (c,r)

  Hankel matrix, a matrix whose skew-diagonals are constant. `c` is the first row and `r` is the last column. It is assumed that both arguments are vectors and the last element of `c` is the same as the first element of `r`.

  See Wikipedia for more information.

HilbertMatrix

      HilbertMatrix (n)

  Πίνακας Χίλμπερτ τάξης `n`.

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

Image

      Image (T)

  Δίνει την εικόνα (διάστημα στήλης) ενός γραμμικού μετασχηματισμού.

  See Wikipedia for more information.

InfNorm

      InfNorm (v)

  Δίνει την απειρονόρμα ενός διανύσματος, μερικές φορές λέγεται νόρμα ελάχιστου άνω φράγματος ή νόρμα μεγίστου.

InvariantFactorsInteger

      InvariantFactorsInteger (M)

  Get the invariant factors of a square integer matrix.

InverseHilbertMatrix

      InverseHilbertMatrix (n)

  Αντίστροφος πίνακας Χίλμπερτ τάξης `n`.

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

IsHermitian

      IsHermitian (M)

  Αν είναι ένας ερμιτιανός πίνακας. Δηλαδή, αν είναι ίσος με τον ανάστροφο συζυγή.

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

IsInSubspace

      IsInSubspace (v,W)

  Ελέγχει αν ένα διάνυσμα είναι σε έναν υπόχωρο.

IsInvertible

      IsInvertible (n)

  Αν είναι ένας πίνακας (ή αριθμός) αντιστρέψιμος (ένας ακέραιος πίνακας είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν είναι αντιστρέψιμος στους ακέραιους).

IsInvertibleField

      IsInvertibleField (n)

  Αν είναι ένας πίνακας (ή αριθμός) αντιστρέψιμος σε ένα πεδίο.

IsNormal

      IsNormal (M)

  Αν είναι ο `M` ένας κανονικός πίνακας. Δηλαδή, κάνει `M*M' == M'*M`.

  See Planetmath or Mathworld for more information.

IsPositiveDefinite

      IsPositiveDefinite (M)

  Αν είναι το `M` ένας ερμιτιανός θετικά ορισμένος πίνακας. Δηλαδή, αν το `HermitianProduct(M*v,v)` είναι πάντα αυστηρά θετικό για κάθε διάνυσμα `v`. Ο `M` πρέπει να είναι τετραγωνικός και ερμιτιανός για να είναι θετικά ορισμένος. Ο έλεγχος που εκτελείται είναι ότι κάθε βασικός υποπίνακας έχει μία μη αρνητική ορίζουσα. (Δείτε HermitianProduct)

  Σημειώστε ότι κάποιοι συγγραφείς (για παράδειγμα Mathworld) δεν απαιτούν ο `M` να είναι ερμιτιανός και τότε η συνθήκη είναι στο πραγματικό μέρος του εσωτερικού γινομένου, αλλά δεν παίρνουμε αυτήν την πλευρά. Αν θέλετε να εκτελέσετε αυτόν τον έλεγχο, ελέγξτε απλά το ερμητιανό μέρος του πίνακα `M` ως εξής: `IsPositiveDefinite(M+M')`.

  See Wikipedia, Planetmath, or Mathworld for more information.

IsPositiveSemidefinite

      IsPositiveSemidefinite (M)

  Αν είναι ο `M` ένας ερμιτιανός θετικά ημιορισμένος πίνακας. Δηλαδή, αν το `HermitianProduct(M*v,v)` είναι πάντα μη αρνητικό για κάθε διάνυσμα `v`. Το `M` πρέπει να είναι τετραγωνικός και ερμιτιανός για να είναι θετικά ημιορισμένος. Ο έλεγχος που εκτελείται είναι ότι κάθε βασικός υποπίνακας έχει μια μη αρνητική ορίζουσα. (Δείτε HermitianProduct)

  Σημειώστε ότι κάποιοι συγγραφείς δεν απαιτούν ο `M` να είναι ερμιτιανός και τότε η συνθήκη είναι στο πραγματικό μέρος του εσωτερικού γινομένου, αλλά δεν παίρνουμε αυτήν την πλευρά. Αν θέλετε να εκτελέσετε αυτόν τον έλεγχο, ελέγξτε απλά το ερμιτιανό μέρος του πίνακα `M` ως εξής: `IsPositiveSemidefinite(M+M')`.

  See Planetmath or Mathworld for more information.

IsSkewHermitian

      IsSkewHermitian (M)

  Αν είναι ο πίνακας λοξός ερμιτιανός. Δηάδή, αν είναι ο συζυγής ανάστροφος ίσος με τον αρνητικό του πίνακα.

  See Planetmath for more information.

IsUnitary

      IsUnitary (M)

  Είναι ένας πίνακας μοναδιαίος; Δηλαδή, αν είναι οι `M'*M` and `M*M'` ίσοι στην ταυτότητα.

  See Planetmath or Mathworld for more information.

JordanBlock

      JordanBlock (n,lambda)

  Παραλλαγές: `J`

  Δίνει το μπλοκ Jordan που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή `lambda` με πολλαπλότητα `n`.

  See Planetmath or Mathworld for more information.

Kernel

      Kernel (T)

  Δίνει τον πυρήνα (διάστημα κενού) ενός γραμμικού μετασχηματισμού.

  (Δείτε NullSpace)

KroneckerProduct

      KroneckerProduct (M, N)

  Παραλλαγές: `TensorProduct`

  Υπολογίζει το γινόμενο Κρόνεκερ (γινόμενο τανυστή σε τυπική βάση) δύο πινάκων.

  See Wikipedia, Planetmath or Mathworld for more information.

  Version 1.0.18 onwards.

LUDecomposition

      LUDecomposition (A, L, U)

  Get the LU decomposition of `A`, that is find a lower triangular matrix and upper triangular matrix whose product is `A`. Store the result in the `L` and `U`, which should be references. It returns `true` if successful. For example suppose that A is a square matrix, then after running:

      genius> LUDecomposition(A,&L,&U)

  You will have the lower matrix stored in a variable called `L` and the upper matrix in a variable called `U`.

  Αυτή είναι η ανάλυση LU ενός πίνακα γνωστό και ως Crout και/ή αναγωγή Σολεσκί. (ISBN 0-201-11577-8 pp.99-103) Ο άνω τριγωνικός πίνακας χαρακτηρίζει μια διαγώνιο τιμών 1 (ένα). Αυτή δεν είναι η μέθοδος του Doolittle που χαρακτηρίζει τη διαγώνιο του 1 στον κάτω πίνακα.

  Δεν έχουν όλοι οι πίνακες αναλύσεις LU, για παράδειγμα το `[0,1;1,0]` δεν έχει και αυτή η συνάρτηση επιστρέφει `false` σε αυτήν την περίπτωση και ορίζει `L` και`U` σε `null`.

  See Wikipedia, Planetmath or Mathworld for more information.

Minor

      Minor (M,i,j)

  Δίνει τον ελάσσονα `i`-`j` ενός πίνακα.

  See Planetmath for more information.

NonPivotColumns

      NonPivotColumns (M)

  Επιστρέφει τις στήλες που δεν είναι οδηγούσες στήλες ενός πίνακα.

Norm

      Norm (v,p...)

  Παραλλαγές: `norm`

  Δίνει τη νόρμα p (ή νόρμα 2 αν κανένα p δεν δίνεται) ενός διανύσματος.

NullSpace

      NullSpace (T)

  Δίνει τον μηδενικό χώρο ενός πίνακα. Δηλαδή, τον πυρήνα της γραμμικής απεικόνισης που απεικονίζει ο πίνακας. Αυτός επιστρέφεται ως ένας πίνακας του οποίου ο χώρος στηλών είναι ο μηδενικός χώρος του `T`.

  See Planetmath for more information.

Nullity

      Nullity (M)

  Παραλλαγές: `nullity`

  Δίνει την μηδενικότητα ενός πίνακα. Δηλαδή, επιστρέφει τη διάσταση του μηδενικού χώρου· η διάσταση του πυρήνα του `M`.

  See Planetmath for more information.

OrthogonalComplement

      OrthogonalComplement (M)

  Δίνει του ορθογωνίου συμπληρώματος του χώρου στήλης.

PivotColumns

      PivotColumns (M)

  Επιστρέφει τις οδηγούσες στήλες ενός πίνακα, δηλαδή τις στήλες που έχουν ένα αρχικό 1 σε ανηγμένη μορφή κατά γραμμές. Επίσης επιστρέφει τη γραμμή που αυτό συμβαίνει.

Projection

      Projection (v,W,B...)

  Προβολή του διανύσματος `v` στον υπόχωρο `W` ως προς το δοσμένο εσωτερικό γινόμενο από το `B`. Αν το `B` δεν δίνεται, τότε το τυπικό ερμιτιανό γινόμενο χρησιμοποιείται. Το `B` μπορεί ή να είναι γραμμικο-ημιγραμμική συνάρτηση των δύο ορισμάτων ή μπορεί να είναι ένας πίνακας που δίνει μια γραμμικο-ημιγραμμική μορφή.

QRDecomposition

      QRDecomposition (A, Q)

  Δίνει την ανάλυση QR ενός τετραγωνικού πίνακα `A`, επιστρέφει τον άνω τριγωνικό πίνακα `R` και ορίζει το `Q` στον ορθογώνιο (μοναδιαίο) πίνακα. Το `Q` πρέπει να είναι μια αναφορά ή `null`, αν δεν θέλετε καμιά επιστροφή. Για παράδειγμα:

      genius> R = QRDecomposition(A,&Q)

  Θα έχετε τον άνω τριγωνικό πίνακα αποθηκευμένο σε μια μεταβλητή που λέγεται `R` και τον ορθογώνιο (μοναδιαίο) πίνακα αποθηκευμένο στο `Q`.

  See Wikipedia or Planetmath or Mathworld for more information.

RayleighQuotient

      RayleighQuotient (A,x)

  Επιστρέφει το πηλίκο Ρέιλι (λέγεται επίσης πηλίκο ή λόγος Ρέιλι-Ρίτζ) ενός πίνακα και ενός διανύσματος.

  See Planetmath for more information.

RayleighQuotientIteration

      RayleighQuotientIteration (A,x,epsilon,maxiter,vecref)

  Βρίσκει τις ιδιοτιμές του `A` χρησιμοποιώντας τη μέθοδο επανάληψης πηλίκου Ρέιλι. Το `x` είναι μια πρόβλεψη στο ιδιοδιάνυσμα και μπορεί να είναι τυχαία. Πρέπει να έχει μη μηδενικό φανταστικό μέρος, αν θα έχει κάποια πιθανότητα στην εύρεση μιγαδικών ιδιοτιμών. Ο κώδικας θα εκτελεστεί στις περισσότερες επαναλήψεις `maxiter` και θα επιστρέψει `null` αν δε μπορούμε να πάρουμε ένα σφάλμα του `epsilon`. Το `vecref` πρέπει να είναι `null` ή μια αναφορά σε μεταβλητή όπου το ιδιοδιάνυσμα πρέπει να αποθηκευτεί.

  See Planetmath for more information on Rayleigh quotient.

Rank

      Rank (M)

  Παραλλαγές: `rank`

  Δίνει την τάξη ενός πίνακα.

  See Planetmath for more information.

RosserMatrix

      RosserMatrix ()

  Επιστρέφει τον πίνακα Ρόσερ, που είναι ένα κλασικό συμμετρικό πρόβλημα δοκιμής ιδιοτιμής.

Rotation2D

      Rotation2D (angle)

  Aliases: `RotationMatrix`

  Επιστρέφει τον πίνακα που αντιστοιχεί στην περιστροφή γύρω από το αρχικό στο R2.

Rotation3DX

      Rotation3DX (angle)

  Επιστρέφει τον πίνακα που αντιστοιχεί στην περιστροφή γύρω από τον αρχικό στο R3 γύρω από τον άξονα x.

Rotation3DY

      Rotation3DY (angle)

  Επιστρέφει τον πίνακα που αντιστοιχεί στην περιστροφή γύρω από τον αρχικό στο R3 γύρω από τον άξονα y.

Rotation3DZ

      Rotation3DZ (angle)

  Επιστρέφει τον πίνακα που αντιστοιχεί στην περιστροφή γύρω από τον αρχικό στο R3 γύρω από τον άξονα z.

RowSpace

      RowSpace (M)

  Δίνει έναν πίνακα βάσης για χώρο γραμμών ενός πίνακα.

SesquilinearForm

      SesquilinearForm (v,A,w)

  Υπολογίζει το (v,w) ως προς τη γραμμικο-ημιγραμμική μορφή που δίνεται από τον πίνακα Α.

SesquilinearFormFunction

      SesquilinearFormFunction (A)

  Επιστρέφει μια συνάρτηση που υπολογίζει δύο διανύσματα ως προς τη γραμμικο-ημιγραμμική μορφή που δίνεται από το Α.

SmithNormalFormField

      SmithNormalFormField (A)

  Επιστρέφει την κανονική μορφή Σμιθ ενός πίνακα για πεδία (θα τελειώνει με 1 στη διαγώνιο).

  See Wikipedia for more information.

SmithNormalFormInteger

      SmithNormalFormInteger (M)

  Return the Smith normal form for square integer matrices over integers.

  See Wikipedia for more information.

SolveLinearSystem

      SolveLinearSystem (M,V,args...)

  Επιλύει το γραμμικό σύστημα Mx=V, επιστρέφει τη λύση V αν υπάρχει μια μοναδική λύση, αλλιώς `null`. Δύο πρόσθετες παράμετροι αναφοράς μπορούν να χρησιμοποιηθούν προαιρετικά για να δώσουν τα ανηγμένα M και V.

ToeplitzMatrix

      ToeplitzMatrix (c, r...)

  Επιστρέφει τον πίνακα Toeplitz που κατασκευάστηκε με δεδομένη την πρώτη στήλη c και (προαιρετικά) την πρώτη γραμμή r. Αν δίνεται μόνο η στήλη c, τότε είναι συζυγής και η μη συζυγής έκδοση χρησιμοποιείται για να δώσει η πρώτη γραμμή τον ερμιτιανό πίνακα (αν το πρώτο στοιχείο είναι πραγματικός φυσικά).

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

Trace

      Trace (M)

  Παραλλαγές: `trace`

  Υπολογίζει το ίχνος ενός πίνακα. Δηλαδή, το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων.

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

Transpose

      Transpose (M)

  Ανάστροφος ενός πίνακα. Αυτός είναι ο ίδιος με τον τελεστή `.'`.

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

VandermondeMatrix

      VandermondeMatrix (v)

  Παραλλαγές: `vander`

  Επιστρέφει τον πίνακα Vandermonde.

  See Wikipedia for more information.

VectorAngle

      VectorAngle (v,w,B...)

  Η γωνία των δύο διανυσμάτων ως προς το εσωτερικό γινόμενο που δίνει ο `B`. Αν ο `B` δεν δίνεται, τότε το τυπικό ερμιτιανό γινόμενο χρησιμοποιείται. Ο `B` μπορεί είτε να είναι γραμμικο-ημιγραμμική συνάρτηση δύο ορισμάτων ή μπορεί να είναι ένας πίνακας που δίνει μια γραμμικο-ημιγραμμική μορφή.

VectorSpaceDirectSum

      VectorSpaceDirectSum (M,N)

  Το ευθύ άθροισμα των διαστημάτων διανύσματος Μ και Ν.

VectorSubspaceIntersection

      VectorSubspaceIntersection (M,N)

  Τομή των υποχώρων που δίνονται από Μ και Ν.

VectorSubspaceSum

      VectorSubspaceSum (M,N)

  Το άθροισμα των διανυσματικών χώρων M και N, δηλαδή {w | w=m+n, m στο M, n στο N}.

adj

      adj (m)

  Παραλλαγές: `Adjugate`

  Δίνει τον κλασικό συζυγή ενός πίνακα.

cref

      cref (M)

  Παραλλαγές: `CREF` `ColumnReducedEchelonForm`

  Υπολογίζει την ανηγμένη κλιμακωτή μορφή κατά στήλες.

det

      det (M)

  Παραλλαγές: `Determinant`

  Δίνει την ορίζουσα ενός πίνακα.

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

ref

      ref (M)

  Παραλλαγές: `REF` `RowEchelonForm`

  Δίνει την μορφή κλιμακωτής γραμμής ενός πίνακα. Δηλαδή, εφαρμόζει την απαλοιφή Γκάους, αλλά όχι την πίσω πρόσθεση στο `M`. Οι οδηγούσες γραμμές διαιρούνται για να κάνουν όλους τους οδηγούς 1.

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

rref

      rref (M)

  Παραλλαγές: `RREF` `ReducedRowEchelonForm`

  Δίνει τη ανηγμένη κλιμακωτή μορφή κατά γραμμές ενός πίνακα. Δηλαδή, εφαρμόζει την απαλοιφή Γκάους μαζί με την πίσω πρόσθεση στο `M`.

  See Wikipedia or Planetmath for more information.

Προηγ | Πάνω | Επόμενο
Διαχείριση πινάκων | Αρχή | Συνδυαστική Ανάλυση